ο Χέγκελ για τα μαθηματικά

Georg W. F. Hegel, Φαινομενολογία του Πνεύματος, τ. Α, Αθήνα-Γιάννινα, 1993, Δωδώνη, σ. 163-196

§ 42

Σε ό,τι αφορά τις μαθηματικές αλήθειες, θα θεωρούσε κανείς ακόμη λιγότερο ως γεωμέτρη  εκείνον που θα γνώριζε απέξω τα θεωρήματα του Ευκλείδη, χωρίς να γνωρίζει τις αποδείξεις τους, χωρίς, όπως θα μπορούσαμε να εκφραστούμε για να δείξουμε την αντίθεση, να γνωρίζει αυτές εσωτερικά. Θα θεωρούσαμε επίσης ανεπαρκή τη γνώση της πολύ γνωστής σχέσης των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου, την οποία θα μπορούσε ν' αποκτήσει κάποιος μετρώντας πολλά ορθογώνια τρίγωνα. Η ουσιαστικότητα της απόδειξης ωστόσο, ακόμη και στη μαθηματική γνωσιακή διαδικασία, δεν έχει ακόμα τη σημασία και τη φύση, η οποία 0α την έκανε γνώρισμα του ίδιου του αποτελέσματος, αλλά σε τούτο [το αποτέλεσμα] η απόδειξη είναι ξεπερασμένη και εξαφανισμένη. Καθόσον αποτέλεσμα, το θεώρημα είναι βέβαια ένα θεώρημα αναγνωρισμένο ως αληθινό. Αλλ’ αυτή η επιπρόσθετη περίσταση δεν αφορά το περιεχόμενο του παρά μόνο τη σχέση του προς το γιγνώσκον υποκείμενο· η κίνηση της μαθηματικής απόδειξης δεν ανήκει σ' αυτό που είναι το αντικείμενο, αλλά είναι ένα ενέργημα εξωτερικό προς το Πράγμα*. Έτσι η φύση του ορθογώνιου τριγώνου δεν διαμελίζεται αφ' εαυτής με τον τρόπο ακριβώς που αυτή παρουσιάζεται στη συνδόμηση, η οποία είναι αναγκαία προκειμένου να αποδείξουμε το θεώρημα που εκφράζει τη σχέση του τριγώνου. Η διαδικασία ανάδειξης του αποτελέσματος είναι μια διαδικασία και ένα μέσο του γνωρίζειν. — Στο φιλοσοφικό γνωρίζειν επίσης το γίγνεσθαι της [εξωτερικής] ύπαρξης ως τέτοιας είναι διαφορετικό από το γίγνεσθαι της ουσίας ή της εσωτερικής φύσης του Πράγματος. Αλλά το φιλοσοφικό γνωρίζειν καταρχήν εμπεριέχει αμφότερους |τους τύπους του γίγνεσθαι, ενώ το μαθηματικό γνωρίζειν παρουσιάζει μόνο το γίγνεσθαι της ύπαρξης, δηλ. του Είναι της φύσης του Πράγματος μέσα στο γνωρίζειν ως τέτοιο.

Κατά δεύτερο λόγο το φιλοσοφικό γνωρίζειν συνενώνει επίσης τις δύο τούτες μερικές κινήσεις. Η εσωτερική γένεση ή το γίγνεσθαι της υπόστασης είναι μια αδιάκοπη μετάβαση στην εξωτερικότητα ή στην ύπαρξη· αυτή είναι ένα Είναι για άλλο, και αντιστρόφως το γίγνεσθαι της ύπαρξης είναι η κίνηση της επιστροφής στην ουσία. Η κίνηση είναι η διπλή πορεία και το γίγνεσθαι του όλου, έτσι που η κάθε πλευρά θέτει ταυτόχρονα την άλλη και γι’ αυτό η καθεμιά έχει μέσα της αμφότερες ως δύο όψεις, οι οποίες ειλημμένες μαζί συνιστούν το όλο, καθόσον αυτο-αποσυντίθενται και γίνονται πλευρές του όλου.

* σημείωση [§ 42] 1. Ο Χέγκελ προβαίνει σε μια σαφή διάκριση της φιλοσοφικής μεθόδου από εκείνη των μαθηματικών. Η μαθηματική μέθοδος είναι ίνα εξωτερικό ενέργημα, αφού υποδηλώνει το μέσο ή το όργανο της γνώσης, και μ' αυτή την έννοια είναι μία εξωτερική προς το αντικείμενο γνώση, για την οποία ως εκ τούτου και η κίνηση είναι εξωτερική. Η φιλοσοφική μέθοδος αντίθετα παριστά την ταυτότητα της γνώσης και της πραγματικής ύπαρξης.

§ 43

Στο μαθηματικό γνωρίζειν η διασκόπηση είναι ένα εξωτερικό ενέργημα για το ΙΙράγμα· από εδώ συνάγεται πως έτσι το αληθινό Πράγμα αλλοιώνεται. Το μέσον, δηλ. συνδόμηση και απόδειξη, εμπεριέχει αναμφίβολα αληθείς προτάσεις, αλλά πρέπει όχι λιγότερο να λεχθεί ότι το περιεχόμενο είναι λανθασμένο. Το τρίγωνο στο πιο πάνω παράδειγμα διαμελίζεται και τα μέρη του μετατρέπονται σε στοιχεία άλλων σχημάτων, τα οποία η συν δόμηση κάνει να γεννιούνται σ' αυτό. Μόνο στο τέλος ανακατασκευάζεται το τρίγωνο, με το οποίο έχουμε να κάνουμε στ' αλήθεια και το οποίο στην πορεία της απόδειξης ήταν χαμένο από τα μάτια μας και εμφανιζόταν [διαμελισμένο] σε τμήματα που ανήκαν σε άλλες ολότητες. Εδώ λοιπόν βλέπουμε να εισέρχεται στο παιχνίδι και η αρνητικότητα του περιεχομένου, η οποία θα έπρεπε να ονομάζεται εξίσου καλά μια σφαλερότητα αυτού, όπως είναι μέσα στην κίνηση της έννοιας η εξαφάνιση των ως σταθερών εννοημένων σκέψεων.

§ 44

Αλλά ό,τι είναι πραγματικά ατελές σ' αυτό το γνωρίζειν αφορά τόσο το ίδιο το γνωρίζειν, όσο και την ύλη του εν γένει. — Σε ό,τι αφορά το γνωρίζειν, δε βλέπουμε κατά πρώτον καμιά αναγκαιότητα της συνδόμησης. Τέτοια [αναγκαιότητα] δεν απορρέει από την έννοια του θεωρήματος- αυτή μάλλον επιβάλλεται, και στην υποχρέωση να χαράζουμε αυτές, ακριβώς τις γραμμές, τη στιγμή που άπειρες άλλες θα μπορούσαν να χαραχτούν, πρέπει να υπακούμε τυφλά, χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα πέρα από το να έχουμε την καλή πίστη ότι αυτό θα εξυπηρετήσει στην προσαγωγή της απόδειξης. Εκ των υστέρων βέβαια γίνεται επίσης φανερή αυτή η σκοπιμότητα, η οποία γι’ αυτό είναι μόνο μια εξωτερική τοιαύτη, επειδή αυτή γίνεται φανερή μόνο εκ των υστέρων, κατά την απόδειξη. — Η τελευταία τούτη ομοίως ακολουθεί μια οδό που αρχίζει σε κάποιο σημείο. Χωρίς να γνωρίζει κανείς ποια σχέση θα έχει ένα τέτοιο ξεκίνημα με το αποτέλεσμα που πρόκειται να προκύψει. Η προχωρητική πορεία της απόδειξης περιλαμβάνει αυτούς τους προσδιορισμούς και τις σχέσεις και αφήνει κατά μέρος άλλους, χωρίς να μπορεί κανείς άμεσα να διακρίνει σύμφωνα με ποια αναγκαιότητα ένας εξωτερικός σκοπός διέπει αυτή την κίνηση.

§ 45

Ο προφανής χαρακτήρας αυτού του ατελούς γνωρίζειν, για τον οποίο τα Μαθηματικά υπερηφανεύονται και με τον οποίο κάνουν επίδειξη απέναντι στη φιλοσοφία, βασίζεται μόνο στην ένδεια του σκοπού του και στην ελλειπτικότητα της ύλης του, και γι' αυτό είναι τέτοιας ποιότητας, που η φιλοσοφία πρέπει να περιφρονεί. — Ο σκοπός ή η έννοια των Μαθηματικών είναι το μέγεθος. Αυτό ακριβώς είναι η επουσιώδης, η στερούμενη έννοιας σχέση. II κίνηση της γνώσης ως εκ τούτου τελείται στην επιφάνεια, δεν θίγει το ίδιο το Πράγμα, την ουσία ή την έννοια και κατά συνέπεια αδυνατεί να το συλλάβει στην έννοια του. —

Το υλικό, για το οποίο τα Μαθηματικά περιέχουν ένα ικανοποιητικό θησαυρό από αλήθειες, είναι ο χώρος και το Εν. Ο χώρος είναι η ύπαρξη, όπου η έννοια εγγράφει τις διαφορές της σαν σε ένα κενό, νεκρό στοιχείο, μέσα στο οποίο και αυτές είναι εξίσου ακίνητες και νεκρές. Το πραγματικό δεν είναι κάτι που ανήκει στο χώρο, όπως αυτό εξετάζεται στα Μαθηματικά· με τέτοιες μη-πραγματικότητες σαν τα πράγματα [= αντικείμενα] των Μαθηματικών δεν καταγίνεται ούτε η συγκεκριμένη αισθητήρια επόπτευση ούτε η φιλοσοφία. Σε ένα τέτοιο μη-πραγματικό στοιχείο υπάρχει ακόμα μόνο ένα αληθές μη-πραγματικό, δηλ. άκαμπτες, νεκρές προτάσεις. Σε καθεμιά από αυτές μπορεί να γίνει παύση· η επόμενη κάνει αρχή εκ νέου για τον εαυτό της, χωρίς η πρώτη να έβαινε προς την άλλη και να αναφυόταν κατ’ αυτό τον τρόπο μέσω της φύσης του ίδιου του Πράγματος ένας αναγκαίος δεσμός. — Δυνάμει επίσης εκείνης της αρχής και εκείνου του στοιχείου - και εδώ έγκειται ο φορμαλισμός της μαθηματικής προφάνειας - [αυτό το είδος] της γνώσης ακολουθεί τη γραμμή της ισότητας. Γιατί το νεκρό, επειδή δεν κινείται αφ' εαυτού, δεν φτάνει μέχρι τη διαφοροποίηση της ουσίας, μέχρι την ουσιώδη αντίθεση ή ανισότητα, δεν πετυχαίνει κατά συνέπεια τη μετάβαση του αντιθέτου στο αντίθετο [του], στην ποιοτική, ενύπαρκτη κίνηση, στην αυτοκίνηση*. Γιατί αυτό που πραγματεύονται τα Μαθηματικά είναι μόνο το μέγεθος, η επουσιώδης διαφορά. Τα Μαθηματικά κάνουν αφαίρεση του γεγονότος ότι αυτό, το οποίο διχοτομεί το χώρο στις διαστάσεις του και προσδιορίζει τους δεσμούς ανάμεσα και μέσα σ' αυτές, είναι η έννοια· δεν εξετάζουν για παράδειγμα τη σχέση της γραμμής προς την επιφάνεια· και όταν συγκρίνουν τη διάμετρο του κύκλου με την περιφέρεια του, προσκρούουν στην ασυμμετρία τους, δηλ. σε μια σχέση της έννοιας, σε ένα άπειρο, το οποίο διαφεύγει του μαθηματικού προσδιορισμού.

* σημείωση [§ 45] 1. Μαθηματική ισότητα και διαλεκτική ταυτότητα είναι δύο διαφορετικά, εντελώς αντιθετικά μεγέθη. Η μαθηματική ισότητα είναι εξωτερική ταυτότητα ή ενότητα που αγνοεί τη διαφορά, την άρνηση δηλ. της ταυτότητας, καθώς και την άρνηση της διαφοράς, την άρνηση δηλ. της άρνησης. Λυτή είναι για το Χέγκελ κάτι το νεκρό, γιατί ως μία «επιφανειακή σύνθεση» δεν φέρει μέσα της την κίνηση της ζωής και της ύπαρξης της, παρά είναι παράγωγο της γνώσης και γι’ αυτό έξωθεν προσδιορισμένο. Η διαλεκτική ταυτότητα απεναντίας είναι εσωτερική ταυτότητα ή απόλυτη ενότητα της ταυτότητας και της διαφοράς.

§ 46

Τα εμμενή, επονομαζόμενα καθαρά Μαθηματικά δεν αντιτάσσουν στο χώρο το χρόνο ως χρόνο, ως τη δεύτερη δηλ. ύλη της εξέτασης τους. Τα εφαρμοσμένα Μαθηματικά πραγματεύονται αναμφίβολα το χρόνο, καθώς επίσης την κίνηση και άλλα συγκεκριμένα πράγματα· αλλά τις συνθετικές προτάσεις, π.χ. εκείνες που αναφέρονται στις σχέσεις των πραγμάτων, σχέσεις οι οποίες είναι προσδιορισμένες από την έννοια τους, τις αντλούν από την εμπειρία και εφαρμόζουν μόνο τους τύπους τους σε τούτες τις προϋποθέσεις. Το γεγονός ότι οι λεγόμενες αποδείξεις τέτοιων προτάσεων, όπως εκείνες οι προτάσεις για την ισορροπία του μοχλού, για τη σχέση του χώρου και του χρόνου στην κίνηση της πτώσης κ.λ.π., που τα Μαθηματικά παρουσιάζουν συχνά, προσφέρονται και λαμβάνονται ως αποδείξεις, /// αυτό και μόνο είναι αφ' εαυτού μια απόδειξη, πόσο μεγάλη είναι η ανάγκη της απόδειξης για το γνωρίζειν, /// εφόσον αυτό και εκεί που στερείται απόδειξης, εκτιμά την κενή [= απατηλή] επίφαση αυτής [της απόδειξης] και βρίσκει έτσι ικανοποίηση. /// Μια κριτική εκείνων των αποδείξεων θα ήταν εξίσου τόσο αξιόλογη όσο και διδακτική, από τη μια για να αποκαθάρει τα Μαθηματικά απ’ αυτά τα ψεύτικα στολίδια, από την άλλη για να δείξει τα όριά τους, και κατά συνέπεια την ανάγκη μιας άλλης γνώσης. Σε ό,τι αφορά το χρόνο, για τον οποίο οφείλαμε να πάρουμε υπόψη ότι στην αντιστοιχία του προς το χώρο θ' αποτελούσε την ύλη του άλλου τμήματος των καθαρών Μαθηματικών, είναι η ίδια η υπάρχουσα έννοια. Η αρχή του μεγέθους, της διαφοράς της μη-προσδιορισμένης από την έννοια και η αρχή της ισότητας, της αφηρημένης νεκρής ενότητας, δεν μπορούν να τα βγάλουν πέρα μ' εκείνη την καθαρή ανησυχία της ζωής και την απόλυτη διαφοροποίηση. Τούτη η αρνητικότητα συνεπώς μόνο ως παραλυμένη, δηλ. ως το Εν. γίνεται η δεύτερη ύλη αυτού του [μαθηματικού] γνωρίζειν, το οποίο, όντας εξωτερικό ενέργημα, υποβιβάζει ό,τι κινείται αφ’ εαυτού στην ύλη, για να γίνει έτσι κάτοχος ενός περιεχομένου αδιάφορου, εξωτερικού, νεκρού.

§ 47

Η φιλοσοφία αντίθετα δεν εξετάζει τον επουσιώδη προσδιορισμό, αλλά τον προσδιορισμό, εφόσον αυτός είναι ουσιώδης- το στοιχείο της και το περιεχόμενο της δεν είναι το αφηρημένο ή το μη-πραγματικό, αλλά το πραγματικό, αυτό που τίθεται αφ’ εαυτού και ζει στον εαυτό του, η ύπαρξη δηλ. στην έννοια της. Το στοιχείο της φιλοσοφίας είναι η προχωρητική πορεία που γεννά και διατρέχει τις βαθμίδες της, και αυτή η κίνηση στην ολότητα της είναι που συνιστά το θετικό και την αλήθεια αυτού του θετικού. Αυτή η αλήθεια εγκλείει επίσης το αρνητικό, εκείνο που θα ονομάζαμε εσφαλμένο, αν αυτό θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα τέτοιο, από το οποίο θα έπρεπε να κάνουμε αφαίρεση. Λυτό που οδηγείται στον εξαφανισμό, πρέπει πολύ περισσότερο το ίδιο να το θεωρούμε ως ουσιαστικό, όχι ως κάτι το παγιωμένο, το οποίο αποκομμένο από το αληθές θα έπρεπε να κείται έξω από αυτό, ποιος ξέρει πού· και το αληθές με τη σειρά του δεν πρέπει να θεωρείται ως το νεκρό θετικό, που αναπαύεται στην άλλη πλευρά*. Η εμφάνιση είναι η κίνηση της γένεσης και του αφανισμού, κίνηση η οποία δεν γεννιέται και δεν παρέρχεται αφ’ εαυτής, αλλά είναι καθεαυτήν και συνιστά την πραγματικότητα και την κίνηση της ζωής και της αλήθειας. Το αληθές λοιπόν είναι η βακχική παραζάλη, μέσα στην οποία κανένα μέλος δεν μένει αμέθυστο, και, επειδή το καθένα αυτοκαταλύεται ομοίως άμεσα, όταν αποχωρίζεται από το όλο, αυτή η παραζάλη είναι σύγχρονα η διαυγής και απλή ηρεμία. Στο δικαστήριο εκείνης της κίνησης [έχοντας κριθεί] οι ενικές μορφές του πνεύματος δεν υφίστανται περισσότερο απ’ ό,τι οι προσδιορισμένες σκέψεις, αλλά είναι πτυχές τόσο θετικές και αναγκαίες, όσο αρνητικές και παροδικές. — Μέσα στην ολότητα της κίνησης, εννοημένην ως ηρεμία, εκείνο που διακρίνεται σ' αυτή και προσδίδει στον εαυτό του ιδιαίτερη ύπαρξη, διαφυλάσσεται ως κάτι, το οποίο αναμιμνήσκεται του εαυτού [= εσωτερικεύεται], [ως κάτι] του οποίου η ύπαρξη είναι η γνώση του ίδιου του εαυτού, όπως και η γνώση είναι εξίσου άμεσα ύπαρξη.

* σημείωση [§ 47] 1. Θετικό και αρνητικό, αληθές και εσφαλμένο είναι πλευρές μιας κίνησης, η οποία καθότι διαλεκτική κίνηση της έννοιας, θεμελιώνεται ως τρόπος ύπαρξης του θετικού και του αληθούς. Το θετικό ως πνευματική ουσία έχει λόγο ύπαρξης σε αντίθεση προς το αρνητικό, το οποίο, ακριβώς επειδή ως ουσία δεν αντιστοιχεί στην έννοια, πρέπει να εξαφανισθεί· είναι ωστόσο ουσιαστικά ως τέτοιο, γιατί σαν πόλος αντίθεσης προς το θετικό αποτελεί στοιχείο της ουσίας του τελευταίου ως κίνησης· το θετικό επομένως είναι ό,τι είναι, μόνο χάρη στη διαλεκτική του ενότητα με το αρνητικό.